一元二次方程教案_一元二次方程教案第一课时

1.一元二次方程应用题解题方法和技巧

2.数学解一元二次方程。

3.一元二次方程的经典题型

4.数学一元二次方程是什么？

5.关于1元2次方程的问题y=ax?+bx+c

6.一元二次方程的概念

一元二次方程

人教版9年级数学上册会学到，冀教版9年级数学上册第二十九章会学到。

定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。

由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。

一般形式：ax^2+bx+c=0 (a≠0)

一般解法有四种：

⒈公式法（直接开平方法）

⒉配方法

⒊公式法

⒋因式分解法

5.十字相乘法

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例题

例1 把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

? ╳

a2 c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.

例2 把6x^2-7x-5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

╳

3 -5

2×(-5)+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

╳

1 5

1×5+1×(-3)=2

所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).

例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

?╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y) ^2-3(x-y)-2

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2)=－3

指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例5 x^2+2x-15

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=(x-3)(x+5)

总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)

a b

╳

c d

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

当b2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个

根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

5.十字相乘法

可对形如y=x^2＋(p+q)x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)

二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。

[编辑本段]附注

一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0；

n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；

一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；

n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。

一元二次方程应用题解题方法和技巧

第一题你会了我就直接解第二题

2m^2-mn-n^2=(m-n)(2m+n)

对x^2－3mx+2m^2-mn-n^2=0用十字交叉法得

[x-(m-n)]*[x-(2m+n)]=0

所以x1=m-n>0;x2=2m+n>0

由mx^2-(m-n)x-n=0得

(x-1)(mx+n)==0

所以x3=1,x4=-n/m<0

所以m-n=1或2m+n=1

其实做这个题最容易走的误区就是马上就设这两个方程的公共根为X.然后来进行代数运算化简.这样虽然也可能做的出来,但要复杂的多.做一元二次方程的题我最爱用的方法就是因式分解解方程+韦达定理+判别式,当这样失效时才考虑其它方法,比如我再举个例

1.首次系数不等的两个二次方程

(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0 ①

(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 ①

（a,b是自然数)有一个公共根，求(a的b次方+b的a次方)/(a的-b次方+b的-a次方的值。

方法一:

①得x1=a,x2=(a+2)/(a-1),②得到x3=b,x4=(b+2)/a-1 (分解因式解)

由于a≠b 所以(a+2)/(a-1)=b=1+3/(a-1)，因为a,b都是自然数，所以a=2或4，同时b=2或4。

(a的b次方+b的a次方)/(a的-b次方+b的-a次方)=256

方法二:

先令等根为y

(a-1)y^2-(a^2+2)y+(a^2+2a)=0 ①

(b-1)y^2-(b^2+2)y+(b^2+2b)=0 ②

①-② (a-b)y^2-(a-b)(a+b)+(a-b)(a+b+2)=0

y^2-(a+b)y+a+b+2=0

①可以化成(x-1)a^2-(x^2+2)a+(x^2+2x)=0

②可以化成(x-1)b^2-(x^2+2)b+(x^2+2x)=0

所以a,b是方程(x-1)y^2-(x^2+2)y+(x^2+2x)=0的两根，

在这里得到a*b=(x^2+2x)/(x-1)=(x^2+2)/(x-1)+2=a+b+2

所以y^2-(a+b)y+a+b+2=y^2-(a+b)y+ab=0,所以y是一个整数

a+b=(x^2+2)/(x-1)=x+1+3/x-1

所以可以得x=2或4，同样可以得到答案 是不是比方法一复杂呢

数学解一元二次方程。

一元二次方程应用题解题方法和技巧如下：

1、审，即审题。在应用题教学中，学生要想正确、快速地解答应用题，必须要掌握科学的审题方法。首先要仔细读题，吸收题设中的信息，去粗取精，把具有一定意义的关键词、句、式找出来。

细细品读，认真分析，深入挖掘隐含的信息，捕捉题目中的数量关系。其次要抽象数学模型，将题目类型化。

2、找，找相等关系。

应用图式找相等关系：图式是围绕某一主题，用知识结构和框架的形式事物间的关系，类事物的抽象概括，可以用来组织它是对一零散的信息和数据。

应用表格找相等关系：教师可以借助二维表格来收集和提炼信息，使复杂的数据关系能清晰直观地显示出来。

3、列，列方程。根据这个相等关系列出代数式，进而列出方程。

4、解，解方程。解这个方程，求未知数的值。解一元二次方程的方法一般有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，可以根据实际情况选择最简单的方法。

5、答，要对求出的解作出是否正确、合理的判断，要判断根是否准确，是否符合实际意义。

一元二次方程的经典题型

一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax?+bx+c=0（a≠0）.

一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

公式法不能解没有实数根的方程（也就是b?-4ac<0的方程），其它所有一元二次方程都能解。

因式分解法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。

配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。

除此之外，还有图像解法和计算机法。

图像解法利用二次函数和根域问题粗略求解。

以下是具体的解法：

一般式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,且a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要先确定二次项系数，再确定一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。

变形式

（a、b是实数，a≠0）;

（a、c是实数，a≠0）;

（a是实数，a≠0）.

注：a≠0这个条件十分重要.

配方式

两根式

求解方法

开平方法

形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程能化成(p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。

注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

配方法

步骤:

将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

配方法的理论依据是完全平方公式a?+b?±2ab=（a±b）?

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

因式分解法：

因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原

图解法

方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解。

可以进行符号运算的程序，比如软件Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及虚数）。

方程解含义：

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

（2）一元二次方程一定且最多有两个解，也有可能没有解(指实数范围内没有解，但在虚数范围内仍有两个解)，那就要看判别式。

数学一元二次方程是什么？

一元二次方程的经典题型：

例题：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游， 推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游， 共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位

这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解：设该单位这次共有 x 名 员 工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝ 25000＜

27000， 所以员工人数一定超过25人.

则根据题意， 得[1000－20( x －25)] x ＝27000.

整理， 得 x 2 －75 x +1350＝0， 解这个方程， 得 x 1 ＝45， x 2 ＝30.

当 x ＝45时， 1000－20( x －25)＝600＜700， 故舍去 x 1 ；

当 x 2 ＝30时， 1000－20( x －25)＝900＞700， 符合题意.

答： 该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

一元二次方程的解题思路主要包括以下几个步骤：

1、理解方程：首先，我们需要理解一元二次方程的基本形式，即ax^2 + bx + c = 0。理解方程的关键是理解二次项、一次项和常数项的含义和作用。

2、观察根的情况：通过观察方程的判别式（即b^2 - 4ac）的值，我们可以判断方程根的情况。如果判别式大于0，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于0，方程有两个相同的实数根；如果判别式小于0，方程没有实数根。

3、选择合适的求解方法：求解一元二次方程的方法主要有三种：配方法、公式法和因式分解法。选择哪种方法主要取决于方程的特点和实际问题的需求。

4、实际应用：一元二次方程在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学中的抛物线运动、经济学中的增长率问题以及工程学中的周期性现象等。通过将实际问题转化为数学模型，我们可以利用一元二次方程来分析问题和解决问题。

关于1元2次方程的问题y=ax?+bx+c

数学一元二次方程是：

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式为：ax+bx+c=0（a≠0）。

二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程。其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

2、只含有一个未知数。

3、未知数项的最高次数是2。

一元二次方程的概念

第一个问题：主要是将1元2次方程y=ax?+bx+c配成完全平方式：

y=ax?+bx+c

=a(x?+bx/a+b?/4a?-b?/4a?)+c

=a(x+b/2a)?-ab?/4a?+c

令a(x+b/2a)?-b?/4a+c=0

a(x+b/2a)?=b?/4a+c

(x+b/2a)?=b?/4a?+c/a

x=+-[根号下（b?/4a?+c/a）- b/2a]

通分为 x=-b+-根号下（b?-4ac）/2a

第二个问题：把求根公式中，x=-b+-根号下（b?-4ac）/2a的值带入y=ax?+bx+c式子中，便可求出y值。

第三个问题： y=4ac-b?/4a这个式子是不是应该为 y=（4ac-b?）/4a

如果实这样的话，那是因为 y=ax?+bx+c=a(x+b/2a)?-ab?/4a?+c

=a(x+b/2a)?+（4ac-b?）/4a

则，当X=-b/2a时，y=（4ac-b?）/4a

此时(x.y)值点为该函数的顶点

问题四：判别式：△=b?+4ac 。因为b?+4ac 式子是在根号下面的，根号要有意义就必须保证根号下的值要不为0，若求根公式中，根号下的值小于0.则这个根号式子无意义，则整个求根公式无意义，说明，该函数式无解。

问题五：：△=b?+4ac ，当△>0时，方程有两个不相等的实数根。根据问题四的回答，可知当根号下的式子有意义时，根号前的符号为+-两个，方程有两个不相等的实数根，且两个实数根是关于直线X=-b/2a对称的。

当△=0时，方程有两个相等的实数根。当根号下值为0时，+-符号对0无意义，两个相等的实数根X=-b/2a

当△<0时，方程没有实数根。根号下的式子小于0时，根号式子无意义，说明函数值不存在

一元二次方程指的是，经过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。

像等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方。要判断一个方程是否为一元二次方程，需要先化简方程看是否满足条件。

一元二次方程的特点　　

1、含有一个未知数。

2、且未知数次数最高次数是2。

3、一元二次方程是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

4、将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0)。